Phương pháp áp dụng nguyên lí Dirichlet để chứng minh Bất Đẳng Thức

Chuyên đề:

Phương pháp áp dụng nguyên lí Dirichlet để chứng minh Bất Đẳng Thức

I.Lời nói đầu:

Bất đẳng thức là một mảng Toán khó, cũng có không ít ứng dụng , nguyên lý và định lý trong việc chứng minh bất đẳng thức. Nhưng kỹ thuật mà tôi tâm đắc nhất đó là áp dụng nguyên lý Dirichlet và đây là một kỹ thuật khá thú vị mà hôm nay tôi muốn gửi tới các bạn. Nguyên lí Dirichlet (Hay còn gọi là nguyên lý ngăn kéo) được để xuất ra đầu tiên bởi nhà toán học Đức Johann Dirichlet (1805 - 1859).

II.Lý thuyết:

2.1.Nguyên lý Dirichlet:

Nguyên lí Dirichlet được phát biểu như sau: Nếu nhốt n+1n+1 con thỏ vào nn cái chuồng thì sẽ luôn luôn có một chuồng chứa ít nhất hai con thỏ.

2.2.Ứng dụng trong bất đẳng thức:

Nguyên lí Dirichlet có rất nhiều ứng dụng trong Toán Học, điển hình là bất đẳng thức. 

Chúng thường được áp dụng để giải một số bài toán bất đẳng thức không thuần nhất. Hôm nay tôi sẽ đưa ra một số ví dụ để các bạn hiểu hơn về vấn đề này.

⧫⧫ Trong 3 số a,b,ca,b,c luôn có 2 số nằm cùng phía với số m bất kỳ (Hay lớn hơn bằng m hoặc bé hơn bằng m).

III.Bài tập ứng dụng:

Bài Toán 1. Cho a,b,ca,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

 a2+b2+c2+2abc+1≥2(ab+bc+ca)a2+b2+c2+2abc+1≥2(ab+bc+ca)

Định hướng lời giải:

Dễ nhận thấy đẳng thức xảy ra tại a=b=c=1a=b=c=1. Dựa trên nguyên lý Dirichlet thì trong ba số a−1,b−1,c−1a−1,b−1,c−1 luôn có hai số cùng dấu. Giả sử hai số đó là a−1,b−1a−1,b−1, ta có: c(a−1)(b−1)≥0c(a−1)(b−1)≥0

Bất đẳng thức đã cho tương đương với:

 (a−b)2+(c−1)2+c(a−1)(b−1)≥0(a−b)2+(c−1)2+c(a−1)(b−1)≥0

 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c=1a=b=c=1 ■◼

Bài Toán 2. [APMO 2005] Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng:

(a2+2)(b2+2)(c2+2)≥3(a+b+c)2(a2+2)(b2+2)(c2+2)≥3(a+b+c)2

Định hướng lời giải:

Nhận thấy đẳng thức xảy ra tại a=b=c=1a=b=c=1. Dựa trên nguyên lý Dirichlet thì trong ba số a2−1,b2−1,c2−1a2−1,b2−1,c2−1 luôn có hai số cùng dấu. Giả sử hai số đó là a2−1,b2−1a2−1,b2−1, ta có: (a2−1)(b2−1)≥0(a2−1)(b2−1)≥0

Từ đó ta có bất đẳng thức sau : (a2+2)(b2+2)=3(a2+b2)+3+(a2−1)(b2−1)≥3(a2+b2)+3(a2+2)(b2+2)=3(a2+b2)+3+(a2−1)(b2−1)≥3(a2+b2)+3

Ta quy về bài toán chứng minh bất đẳng thức sau:

(a2+b2+1)(c2+2)≥(a+b+c)2(a2+b2+1)(c2+2)≥(a+b+c)2

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có:

(a2+b2+1)(1+1+c2)≥(a+b+c)2(a2+b2+1)(1+1+c2)≥(a+b+c)2

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c=1a=b=c=1 ■◼

Bài Toán 3.Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

(a2+1)(b2+1)(c2+1)≥516(a+b+c+1)2(a2+1)(b2+1)(c2+1)≥516(a+b+c+1)2

Định hướng lời giải:

Trong ba số a,b,c luôn có 2 số nằm cùng phía với 1414. Không mất tính tổng quát, giả sử b2b2 và c2c2 nằm cùng phía với 1414 ta có:\\*(b2−14)(c2−14)≥0(b2−14)(c2−14)≥0

 Vì vậy ta có bất đẳng thức sau:

 (b2+1)(c2+1)=(b2−14)(c2−14)+54b2+54c2+1516≥54b2+54c2+1516(b2+1)(c2+1)=(b2−14)(c2−14)+54b2+54c2+1516≥54b2+54c2+1516

Ta cần chứng minh:

 (4b2+4c2+3)(a2+1)≥(a+b+c+1)2(4b2+4c2+3)(a2+1)≥(a+b+c+1)2

Sử dụng bất đẳng thức C-B-S ta có:(4b2+4c2+1+2)(14+14+a2+12)≥(a+b+c+1)2(4b2+4c2+1+2)(14+14+a2+12)≥(a+b+c+1)2

Từ đây bất đẳng thức đã được chứng minh xong

 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c=12a=b=c=12 ■◼

Bài Toán 4. Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn điều kiện a+b+c=3a+b+c=3. Chứng minh rằng:

(a2−a+1)(b2−b+1)(c2−c+1)≥1(a2−a+1)(b2−b+1)(c2−c+1)≥1

Định hướng lời giải:

Dựa trên nguyên lý Dirichlet thì trong 3 số a−1,b−1,c−1a−1,b−1,c−1 với a+b+c=3a+b+c=3 thì luôn có 2 số cùng dấu. Không mất tính tổng quát, giả sử (a−1)(b−1)≥0(a−1)(b−1)≥0.Ta có:

 (b2−b+1)(c2−c+1)=bc(b−1)(c−1)+b2+c2−b−c+1≥b2+c2−b−c+1≥12(b+c)2−(b+c)+1(b2−b+1)(c2−c+1)=bc(b−1)(c−1)+b2+c2−b−c+1≥b2+c2−b−c+1≥12(b+c)2−(b+c)+1

Ta lại có: 12(b+c)2−(b+c)+1=12(3−a)2−(3−a)+1=12(a2−4a+5)12(b+c)2−(b+c)+1=12(3−a)2−(3−a)+1=12(a2−4a+5)

Ta quy về bài toán chứng minh bất đẳng thức sau:

 (a2−a+1)(a2−4a+5)≥2